التصنيف: الصف الاول الابتدائي

بنبتدي بالأحداث المستقلة
مثال تمهيدي
في تجربة إلقاء قطعة نقدية مرة واحدة ثم إلقاء حجر نرد .. ما احتمال ظهور صورة و العدد 5؟
عند رمي قطعة نقدية شنو النواتج اللي ممكن تطلع؟
يا صورة يا كتابة

عند رمي حجر نرد مرة واحدة شنو النواتج اللي ممكن تطلع؟
1،2،3،4،5،6

فضاء العينة بكون كالتالي
S={(H,1),(H,2),(H,3),(H,4),(H,5),(H,6),(T,1),(T,2),(T,3),(T,4),(T,5),(T,6)}X

إذن احتمال ظهور صورة والعدد 5 = 1 ÷ 12 << حالة وحدة من أصل 12 حالة

ممكن نوجد الاحتمال بطريقة أخرى وبدون ما نكتب فضاء العينة للتجربة .. خلونا نشوف شلون

بما أن رمي قطعة النقد لا تؤثر على نواتج رمي حجر النرد .. إذن الحدثان مستقلان
إذن نقدر نوجد الاحتمال بضرب احتمالي الحدثين في بعض .. يعني

عند رمي القطعة النقدية شنو الاحتمال أن تطلع صورة؟
ظهور الصورة حالة من أصل حالتين: صورة ، كتابة
يعني احتمال ظهور صورة = 1 ÷ 2

عند رمي حجر النرد شنو الاحتمال أن يطلع العدد 5 ؟
حالة وحدة من أصل 6 حالات
يعني احتمال ظهور العدد 5 = 1 ÷ 6

احتمال ظهور صورة و العدد 5 = احتمال ظهور صورة × احتمال ظهور العدد 5

مثال
كيس يحتوي على 6 كرات زرقاء و 4 كرات حمراء إذا سحبت كرة عشوائيا ثم أعيدت، ثم سحبت كرة ثانية.
1. ما احتمال أن تكون الكرتان حمراوتان في المرتين؟
2. ما احتمال أن تكون الكرتان زرقاوتان في المرتين؟
3. ما احتمال أن تكون الكرة الأولى حمراء والثانية زرقاء؟
4. ما احتمال أن تكون إحداهما حمراء والأخرى زرقاء؟

بما أن السحب كان مع الإرجاع إذن الحدثان مستقلان .. بنشوف كل حالة بروحها
1. ما احتمال أن تكون الكرتان حمراوتان في المرتين؟
مجموع الكرات في الكيس 10 .. وعدد الكرات الحمراء 4
يعني أول مرة لما بسحب شنو الاحتمال إن تطلع حمراء؟
4 حالات من أصل 10

سحبنا أول مرة ورجعنا الكرة .. كم عدد الكرات في الكيس الحين؟
طبعا العدد ما تغير .. للحين عندنا 10 كرات منها 4 حمراء

يعني لما نجي نسحب في المرة الثانية .. شنو احتمال إنها تطلع حمراء؟
4 من أصل 10

إذن احتمال أن تكون الكرة الأولى حمراء والثانية حمراء =

2. ما احتمال أن تكون الكرتان زرقاوتان في المرتين؟
نفس الطريقة اللي قلناها في الجزء 1 بنسويها في الجزء 2 بس نحط في بالنا إن عدد الكرات الزرقاء 6

3. ما احتمال أن تكون الكرة الأولى حمراء والثانية زرقاء؟
عدد الكرات الحمراء 4 من أصل 10 كرات
عدد الكرات الزرقاء 6 من أصل 10

4. ما احتمال أن تكون إحداهما حمراء والأخرى زرقاء؟
في هالحالة ما حددوا لنا أي وحده منهم حمراء وأي وحده منهم زرقاء
يعني ممكن نقول الأولى حمراء والثانية زرقاء
أو نقول الأولى زرقاء والثانية حمراء
احتمال أن تكون أحدهما حمراء والأخرى زرقاء = احتمال الأولى حمراء والثانية زرقاء + احتمال الأولى زرقاء والثانية حمراء بمعنى آخر نضرب في 2 لان الترتيب ما ذكر في السؤال

بالنسبة لشجرة الاحتمال نرسمها نفس ما نرسم الشجرة البيانية مالت فضاء العينة بس نزيد عليها الاحتمالات
أول سحبة شنو بيطلع لنا << يا حمراء يا زرقاء
احتمال سحب حمراء كم << 4÷ 10
احتمال سحب زرقاء كم << 6÷10
نروح للسحبة الثانية .. شنو بيطلع لنا << يا حمراء يا زرقاء واحتمال كل واحد منهم ما يتغير لان السحب كان مع الارجاع

عند رمي حجر نرد مرة واحدة ما احتمال أن يظهر العدد 4؟
احتمال ظهور العدد 4 = 1 ÷ 6

أحيانا يعطونا معلومات إضافية تقلل نتائج الفضاء .. مثلا خلونا نغير السؤال السابق إلى التالي:
عند رمي حجر نرد مرة واحدة، إذا كان العدد الظاهر عدد زوجي فما احتمال أن يكون العدد 2 ؟
في هالسؤال عطونا معلومة أن العدد اللي يطلع عدد زوجي .. معناتها الفضاء صار عندي {2,4,6}
إذن احتمال ظهور العدد 4 = 1 ÷ 3

نقدر نشتق قانون الاحتمال المشروط من قانون الأحداث غير المستقلة

ملاحظة: الحدث اللي عقب كلمة ما احتمال هو الحدث اللي نبدي به في الاحتمال المشروط
والحدث اللي عقب الكلمات: علما بأن، إذا كان، إذا علم .. هو الشرط

مثال
في تجربة سحب كرة عشوائيا من صندوق يحوي 10 كرات حمراء تحمل الأعداد من 1 إلى 10، 5 كرات زرقاء تحمل الأرقام الفردية من 1 إلى 9. سحبت كرة عشوائيا من الصندوق فوجدت إنها حمراء، فما هو احتمال أنها تحمل الرقم 9؟

كم كرة حمراء وتحمل الرقم 9 << كرة واحدة
كم عدد الكرات الحمراء << 10 كرات
اذن احتمال الكرة المسحوبة تحمل الرقم 9 بشرط أن تكون حمراء = 1 ÷ 10

وممكن نستعمل قانون الاحتمال المشروط بالطريقة التالية
احتمال(9 / حمراء) = احتمال ( 9 وحمراء ) ÷ احتمال ( حمراء )
كم عدد الكرات الحمراء واللي تحمل رقم 9 << كرة وحدة من أصل 15 كرة
كم كرة حمراء عندنا << 10 كرات من أصل 15 كرة

مثال
إذا رسب 25% من طلبة أحد الصفوف بمدرسة ما في الرياضيات، ورسب 10% منهم في الرياضيات والكيمياء.
إذا اختير طالب عشوائيا، ما احتمال رسوبه في الكيمياء إذا كان راسبا في الرياضيات؟