المتتابعة الحسابية والمتتابعة الهندسية
المتتابعة هي : دالة د مجالها مجموعة جزئية من ط ومداها مجموعة جزئية من ح .
وتسمى : د(ن)=أن بالحد النوني للمتتابعة ، ن تنتمي لـ ط ، وعناصرها تسمى حدود المتتابعة .
وهناك متتابعات منتهية : د {1، 2،3، …،م} ← ح . ومتتابعات غير منتهية : د : ط ← ح .
المتتابعة الحسابية
نقول أن {حن } متتابعة حسابية إذا وجد عدد ثابت د بحيث د = حن +1 – حن ، لجميع قيم ن وتسمى د أساس المتتابعة .
ملاحظات :
1- الحد النوني للمتتابعة الحسابية هو : حن = أ + (ن – 1) د ، أ هو الحد الأول ، د هو الأساس .
2- الأوساط الحسابية بين العددين أ ، ب هي حدود المتتابعة التي حدها الأول أ وحدها الأخير ب .
أمثلة :
مثال(1) : هل المتتابعة : {حن } ={15،11،7،3،…..} حسابية أم لا ولماذا ؟ .
جواب(1) : المتتابعة حسابية لأن حن +1 – حن = 4 ، لجميع قيم ن .
مثال(2) : أوجد الحد الثالث عشر (ح13) للمتتابعة الحسابية : {1،-3،-7،-11،….} .
جواب(2) : أساس المتتابعة (د) = -3-1 = -4 ، الحد الأول (أ) =1 ، إذن :
ح13 = 1 + (13 – 1) × -4 = 1 + (- 48) = – 47 .
مثال(3) : إدخل خمسة أوساط حسابية بين العددين -13 ، 245 ؟ .
جواب(3) : أ = -13 ، حن = 245 ، ن = 7 ، د = ؟
نوجد أساس المتتابعة (د) من القانون كمايلي :
حن = أ + (ن – 1)د
245 = -13 + (7 – 1) × د ، إذن د = 43 ، إذن الأوساط هي : 30 ، 73 ، 116 ، 159 ، 202 .
تمرين:
أوجد عدد الحدود المحصورة بين 13 ، 100 والتي تقبل القسمة على 6 ؟ ( ن = 14 حدا ) .
إرشاد : الحد الأخير = 96 .
المتتابعة الهندسية
عزيزي الطالب لاحظ المتتابعات التالية واكتشف القاعدة :
{16،8،4،2،1،…..} ، {5،5،5،…..} ، {27،-3،9،-1،….}
نلاحظ في كل المتتابعات السابقة أن كل حد قسمة سابقه يساوي مقدار ثابت ، وهذا النوع من المتتابعات نسميه بالمتتابعات الهندسية .
المتتابعة الهندسية:
نقول أن {حن } متتابعة هندسية إذا وجد عدد ثابت ر بحيث ر = حن +1 ÷ حن ، لجميع قيم ن وتسمى ر أساس المتابعة .
ملاحظات :
1-الحد النوني للمتتابعة الهندسية هو : حن = أ رن – 1 ، حيث أ هو الحد الأول ، ر هو أساس المتتابعة .
2- الأوساط الهندسية بين العددين أ ، ب هي حدود المتتابعة التي حدها الأول أ وحدها الأخير ب .
3- إذا كانت الأعداد أ ، ب ، جـ في تتابع هندسي فإن ب يسمى الوسط الهندسي حيث :
أ/ب = ب/جـ ← ب = زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ أ×جـ .
أمثلة :
مثال(1) : قرر فيما إذا كانت المتتابعة التالية هندسية أم لا : 3 ، 6 ، 12 ،….. ؟
جواب(1) : المتتابعة هندسية لأن حن +1 ÷ حن = 2 ، لجميع قيم ن .
مثال(2) : أوجد الحد العاشر في المتتابعة : 2/1،-2،1،…. ؟
جواب(2) : المتتابعة هندسية ، أ = 2/1 ، ر = -1 ÷ 2/1 = -2 ، إذن :
ح10 = 2/1 × -92 = 2/1 × ( -512) = 256
مثال(3) : أوجد الوسط الهندسي للعددين 16 ، 9 ؟ .
جواب(3) : الوسط الهندسي للعددين = زائد أو ناقص جذر 144 = زائد أو ناقص 12 .
مثال(4) : إدخل أربعة أوساط هندسية بين العددين 486 ، 2 ؟
جواب(4) : أ= 486 ، ح6 = 2 ، ن = 6 ، بقي أن نوجد الأساس ر كما يلي :
حن = أ رن – 1
2 =486 × ر6 – 1 ← ر5 = 486/2 ← ر5 = 243/1 ، لاحظ أن 243 = 53
ر5 = (3/1)5 ← ر = 3/1
468 × 3/1 = 162 ، 162 × 3/1 =54 ، وهكذا .
إذن الأوساط الهندسية الأربعة هي : 162 ، 54 ، 18 ، 6 . (تذكر أن ر = حن +1 ÷ حن ) .
ملاحظة : إذا كان عدد الأوساط المطلوبة فردي ، كأن يقول إدخل خمسة أوساط… ، فإن الأساس ر الذي توصلت إليه يكون زائد أو ناقص ، بمعنى أن يكون خمسة أوساط موجبة وأخرى سالبة .
أعلم أنك تريد مثال ، لذا سأذكر المثال التالي :
*** إدخل خمسة أوساط هندسية بين العددين 81 ، 9/1 ؟
جــ : أ= 81 ، ح7 = 9/1 ، ن = 7 ،
حن = أ رن – 1
9/1 =81 × ر7 – 1 ← ر6 = 9/1 ÷ 81 ← ر6 = 729/1 ، لاحظ أن 729 = 63
ر6 = (3/1)6 ← ر =+ – 3/1
عندما ر= + 3/1 فإن الأوساط هي : 27 ، 9 ، 3 ، 1 ، 3/1
عندما ر= – 3/1 فإن الأوساط هي : -27 ، 9 ، -3 ، 1 ، -3/1
تمرين :
1- إدخل وسطين هندسيين بين العددين 9 ، -243 ؟ ( الحل : -27 ، 81) .
2- أوجد المتتابعة الهندسية التي يزيد حدها الثالث عن الثاني بمقدار 6 ، ويزيد الحد الرابع عن الثالث بمقدار 4 ؟ . ( -27 ، -18 ، -12 ، -8 ، ……) .
