الوسم: الدائرة

ويُرمَز للأعداد المجهولة في الجبر بحروف مثل س أو ص. وفي بعض المسائل يمكن استبدال عدد واحد فقط بالرمز. وكمثال بسيط نلاحظ أنه حتى تصبح الجملة س + 3 = 8 صحيحة فيجب أن نعوّض عن س بالعدد 5 وذلك لأن 5 + 3 = 8.

أمّا في بعض المسائل الأخرى فإنه يمكن التعويض عن الرمز بعدد أو أكثر. على سبيل المثال، حتى نحقق صحة الجملة الجبرية س + ص = 12 قد نضع س تساوي 6 وص تساوي 6، أو س تساوي 4، و ص تساوي 8. في مثل هذه الجمل الجبرية، تستطيع الحصول على قيم عديدة لـ س تجعل الجمل صحيحة إذا أعطيْتَ لـ ص قيمًا مختلفة.

ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط. فعلى سبيل المثال لنفرض أن طائرة تقطع مسافة 1,710كم في أربع ساعات إذا كان الطيران في اتجاه هبوب الريح ولكنها تقطع 1,370 كم في خمس ساعات إذا كان الطيران بعكس اتجاه هبوب الريح. باستخدام الجبر نستطيع أن نجد سرعة الطائرة وسرعة الريح.

مصطلحات مستخدمة في الجبر

الأس || عدد يوضع فوق عدد أو متغير من الجهة اليسرى ليدل على عدد المرات التي يُستخدم فيها كعامل.
إشارات التجميع الهلالان ( )، الحاصرتان { }، المعقوفان [ ]. وتستخدم في الجبر لحصر الصيغ الجبرية.
التربيعي || أو من الدرجة الثانية متغير مضروب في نفسه ¸أي مستخدم كعامل مرتين•.
ثنائي الحد عبارة في الجبر تتكون من حدين بينهما الرمز + أو الرمز -.
الثابــــت عدد أو متغير مجاله مجموعة مكونة من عنصر واحد.
جذور المعادلة الأعداد التي تجعل المعادلة تقريراً صائبًا عند إحلالها محل المتغيرات في المعادلة.
الحـــد جزء من صيغة رياضية يرتبط مع حدود أخرى باستخدام عملية الجمع أو الطرح.
الصيغة عدد أو متغير أو أعداد ومتغيرات مرتبطة مع بعضها بعمليات مثل الجمع، الطرح، الضرب، القسمة.
العوامل صيغتان أو أكثر مضروبة ببعضها.
القيمة المطلـقة لعدد ما هي مقدار العدد موجبا كان أو سالبًا.
متعدد الحدود عبارة مكونة من حدين أو أكثر.
المعادلة جملة رياضية تعبر عن صيغتين متساويتين.
المعامل ما يضرب به متغير أو عدد وعادة يكتب قبل المتغير.
المتغـير رمز جبري عادة ما يكون رمزا ويمكن التعويض عنه بعدد أو أكثر.
وحيد الحد عبارة مكونة من حاصل ضرب عدد بمتغير.

تعلُّم الجبر
يرمز العدد في الحساب لمجموعة تحتوي على ذلك العدد من الأشياء، فمثلاً العدد 5 دائمًا يرمز لمجموعة تحتوي على 5 أشياء. أما في الجبر فإن الرموز قد تُستبدل بالأعداد، غير أنه من الممكن أن يحل عدد أو أكثر محل رمز واحد. وحتى نتعلم الجبر يجب علينا أن نتعلّم أولاً كيف تُستخدم الرموز محل الأعداد. ومن ثم كيفية إنشاء الجمل الجبرية عن الأعداد.

المجموعات والمتغيرات. هناك علاقة بين الرموز في الجبر ومجموعات الأعداد. فمن المؤكد أن لكل منا بعض الإلمام بمجموعات الأشياء، مثل مجموعات الكتب، ومجموعات الطوابع البريدية، ومجموعات الصحون. ومجموعات الأعداد لاتختلف عن هذه المجموعات كثيراً. وإحدى الطرق لوصف مجموعات الأعداد في الجبر هي أنْ نقوم باستخدام أحد الحروف الأبجدية مثل ص كاسم لها. ثم نصف أعداد هذه المجموعة بحصرها بين قوسين من الشكل { }. فمثلاً يمكن التعبير عن مجموعة الأرقام من 1 إلى 9 كالتالي:

أ = {1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9} .

أما مجموعة الأعداد الفردية التي تقل عن 20 فهي:

ب = {1، 3، 5، 7، 9، 11، 13، 15، 17، 19}.

وهذان المثالان يبينان نماذج من المجموعات المستخدمة في الجبر.

لنفترض أن أعمار أربعة أشخاص كانت على التوالي: 12، 15، 20، 24 عاما.

عندها يمكن كتابة هذه الأعمار كمجموعة أعداد.

أ = {12، 15، 20، 24}.

كم يكون عمر كل منهم بعد ثلاث سنوات ؟ إنّ إحدى طرق الإجابة على هذا السّؤال تكون بأن نكتب 12 + 3، 15 + 3، 20 + 3 و 24 + 3. نلاحظ أن العدد 3 مكرر في كل من ¸الصيغ• الأربع. في الجبر نستطيع أن نعبر عن جميع الصيغ السابقة بصيغة مهمة واحدة هي م + 3 حيث م هو أي عدد من أعداد المجموعة أ. أي أنه يمكن استبدال أي من الأعداد 12، 15، 20 أو 24 بالرمز م. ويُسمّى الرمز م المتغيِّر، وتُسمَّى المجموعة أ مجال هذا المتغير، أما العدد 3 في الصيغة م + 3 فيسمى الثابت وذلك لأن قيمته واحدة دائما. ويُعرّف المتغيِّر في الجبر بأنه رمز يمكن التعويض عنه بعدد أو أكثر ينتمي إلى مجموعة .

التقارير والمعادلات. يُعرَف التقرير في الرياضيات بأنه جملة خبرية قد تكون صائبة أو خاطئة. وبمقدورنا تمثيل التقارير الرياضية بلغتنا اليومية وأمامنا هنا تقرير ناقص:

إن ……. هو الذي اخترع جهاز الهاتف. هذه العبارة ليست صائبة وليست خاطئة. ولكن لو وضعنا كلمة بل في الفراغ نحصل على العبارة "إن بل هو الذي اخترع جهاز الهاتف" وهذه العبارة صائبة. من الممكن أيضاً أن نستخدم متغيرًا لكتابة تقرير، كأن نكتب:

¸ص دولة يحدها البحر الأسود•

فنحن نستطيع أن نعوض عن المتغير ص بعناصر مجاله. أي نستطيع استبدال أسماء تؤدي إلى تقارير صائبة أو تقارير خاطئة بالمتغيِّر. فمثلاً:

¸المجر دولة يحدها البحر الأسود• تقرير خاطئ، إذ في الواقع لايكون مثل هذا التقرير صائبًا إلا إذا عوضنا عن المتغير ص بإحدى الدول: بلغاريا أو رومانيا، أو تركيا. فيكون التقرير ¸تركيا دولة يحدها البحر الأسود• مثلا صائبًا. وتسمى التعويضات التي تجعل التقرير صائبا جذوراً وتُسمّى المجموعة المكونة من جميع الجذور بمجموعة الحل. ومجموعة حل المثال السابق هي.{بلغاريا، رومانيا، تركيا}. وفي الجبر لانستخدم الأسماء للتعويض عن المتغيرات ولكن نستخدم الأعداد.

وتُعرف المعادلات على أنها جمل رياضية تعبر عن تساوي صيغتين. فالعبارة:

س + 7 = 12

على سبيل المثال، معادلة سهلة تعني ¸حاصل جمع العدد 7 مع عدد ما يساوي12•. ولحل هذه المعادلة نستطيع أن نقوم بالتعويض عن س بأعداد مختلفة حتى نحصل على عدد يجعل من المعادلة تقريراً صائبًا. فإذا عوضنا عن س بالعدد 5 تصبح المعادلة تقريرًاً صائبًا، وإذا عوضنا عن س بأي عدد آخر فإن المعادلة تصبح تقريرًا خاطئاً. إذن مجموعة حل هذه المعادلة هي {5} وهذه المجموعة تحتوي على جذر واحد فقط.

ومن الممكن أن يكون للمعادلة أكثر من جذر:

س ² + 18 = 9 س.

العــدد 2 أعــلى المتغيـر الأول س يعني أن العدد الممثل بالمتغير س هـو عــدد مربع، أي أنه عــدد مضروب في نفسـه مــرة واحدة. انظر: المربع. وفي هذه المعادلة نستطيع أن نعوض عن س بالعدد 3:

3 × 3 + 18 = 9 × 3

9 + 18 = 27

27 = 27

ونستطيع أيضا أن نعوض عن س بالعدد 6:

6 × 6 + 18 = 9 × 6

36 + 18 = 54

54 = 54

أمّا أي تعــويض آخـــر عن س فيجعــل المعادلة تقريراً خاطئاً. إذن 3 و 6 هما جذرا المعادلة. ومن ثم فإن مجموعة الحل هي {3 ، 6}.

كذلك توجد معادلات ليس لها جذور:

س = س + 3

إذا عوضنا عن س بأي عدد، فإن هذه المعادلة تصبح تقريراً خاطئاً، ومجموعة حلها تسمى المجموعة الخالية ويرمز لها بالرمز { }.

ولبعض المعادلات عدد غير منته (لامحدود) من الجذور.

(س + 1)² = س² + 2 س + 1

الهدف من المشروع ….
1ـ تنمية القدرات الاستدلالية المنطقية في جميع مجالات التفكير .
2ـ تنمية ملكية التصور .
3ـ اكتساب المعلومات المناسبة عن الأشكال الهندسية في المستوى والفراغ عن طريق دراسة المجسمات الحقيقية وعمل نماذج لها .
4ـ اكتساب القدرة على رسم الأشكال الهندسية وفهم خواصها.
5ـ اكتساب أساليب التفكير السليمة التي تسهم في بناء شخصيتهم ومنها التفكير الدقيق، التفكير التأملي، التفكير الاستقرائي، التفكير الاستدلالي.
الفرضيات والتوقعات :.
• أتوقع معرفة الكثير من مهارات الهندسة الفراغية ومنها المهارات البصرية .
• فوائد الهندسة الفراغية على مستويات النمو العقلي .
خطة التنفيذ :.
1. المواد المستخدمة :.
1. كرتون مقوى ذو لونين مختلفين . (الأزرق و الوردي ) .
2. مقص .
3. مسطرة .
4. قلم رصاص و صمغ .

خطوات العمل : .
• عمل صندوق مستطيل الشكل ذو غطاء …
نوجد قطعة من الكرتون المقوى على شكل مستطيل كما بالشكل

نقسم المستطيل كما بالشكل :

الغطاء القاعدة

بثني الأجزاء البارزة للأعلى فيتكون الصندوق ذات غطاء

• عمل مخروط دائري قائم …
1- نوجد قطعة من الكرتون المقوى على شكل دائرة

2ـ نقص من الدائرة قطاعاً دائريا ً

3ـ ثم نلصق نصفي القطرين لنحصل على مخروط دائري قائم :

التحليل و الاستنتاجات :. طابقت التوقعات ومنها :
1. التعرف على الكثير من مهارات الهندسة الفراغية : .
المهارات البصرية:
الهندسة الفضائية مادة دراسية بصرية ( تعتمد على حاسة البصر ).وهناك أبحاث حددت الأدوات المختلفة التي يلعبها النصفات الكرويات للمخ في تعلم الرياضيات وأوضحت أن النصف الكروي الأيمن يتعامل بكثرة مع الفراغ و الدوال التركيبية، لذلك فأن في مقرر الهندسة الفراغية يكون من المهم تزويد الطلاب بخبرات كافية لتنمية كل من جانبي المخ.
. المهارات اللفظية :
مقرر الهندسة الفراغية يتضمن تعاريف دقيقة وفروض و قضايا تصف خواص الأشكال ، وقد يطالب الطالب بقراءة أجزاء من المادة و كيفية براهينها .
. مهارات الرسم:
مهارات الرسم يجب أن تنمى في مقرر هندسة الفضاء والأنشطة كثيراً ما تساعد الطلاب على معرفة العلاقات الهندسية وفهم خواص الأشكال و المجسمات و استيعاب الأشكال والمجسمات ذات الثلاثة أبعاد ورسمها بدقة.
. المهارات المنطقية:
لتنمية المهارات المنطقية لدى الطلاب يجب مساعدتهم على التعامل بطريقة شكلية مع أفكار أو معارف لفظية وتصويرية قبل أن تقدم لهم قواعد المنطق الرياضي وان يكونوا على علم في استخدام بعض المصطلحات من الناحية اللغوية.ومهارة إنماء البرهان المنطقي في موقف هندسي يمكن ان تتركز على الرسم التخطيطي مع معطيات، وعلى المعلمين تشجيع الطلاب على دراسة المعطيات وإستنتاج المعلومات الإضافية عن الشكل الهندسي ثم يحلون المسألة.
. المهارات التطبيقية:
يجب تخصيص وقت أطول لتنمية مهارات التطبيق التي تزود الطلاب بكثير من المعرفة بالتطبيقات العملية التي تستخدم في العمارة و الفلك و الهندسة.
2. التعرف على الكثير من مستويات النمو العقلي من خلال الهندسة الفراغية …
* المستوى الأول: التعرف
يتعلم الطالب بعض المفردات في هندسة الفضاء ويعبر عنها مثل المستوى، الفضاء، الزاوية بين مستقيمين متخالفين ، الزاوية الزوجية.
* المستوى الثاني : التحليل
أي الطالب يحلل خواص ألأشكال والمجسمات ، فيدرك مثلاً أن قاعدتا المنشور متوازيتان ومتطابقتان وأن أوجهه الجانبية تكون سطوحاً مستطيبة إذا كانت أحرفه الجانبية عمودية على مستوى القاعدتين وتكون أسطح متوازيات أضلاع إذا كانت الأحرف الجانبية مائلة على مستوى القاعدتين .
* المستوى الثالث : التنظيم أو الترتيب
فالطالب ينظم الأشكال بطريقة منطقية ويفهم التداخلات بين الأشكال و المجسمات وأهمية التعاريف الدقيقة .
* المستوى الرابع : الأستدلال
الطالب الذي يفهم كل المسلمات و النظريات و البرهان سيكون قادراً إلى استخدامها في حل الأمثلة و التمارين.
* المستوى الخامس : التدقيق المحكم
فالطالب في هذا المستوى لابد وأن يدرك أهمية الدقة في التعامل مع البناء الرياضي و المعاملات بين الأبنية المختلفة ولكن نادراً ما يمتد إلى طلاب المرحلة الثانوية.

الخاتمة ….

وفي الختام .. وبعد أن رأينا مدى الدور الذي تلعبه الهندسة الفراغية في حياتنا اليومية فنتمنى أن ينال بحثنا الرضا والقبول … ونقدم هذا العمل المتواضع إلى المعلمة الفاضلة/…………..
ومع فائق الاحترام والتقدير

التوصيات و الاستفادة …
1. أول من استخدم الهندسة الفراغية هم القدماء المصريين
2. تستخدم الهندسة الفراغية في هندسة العمارة والبناء
3. الهندسة الفراغية في حياتنا اليومية
4. على الإنسان البحث الدائم في مجال الهندسة الفراغية لأهميتها
5. السعي المستمر لاكتشاف كل ما هو جديد .

المصادر و المراجع ….

متساوي الاضلاع متساوي الساقين مختلف الاضلاع
– كما يمكن تصنيف المثلثات تبعا لقياس أكبر زاوية في المثلث:
*مثلث قائم: له زاوية قياسها 90 درجة (زاوية قائمة)، يدعى الضلع المقابل للزاوية القائمة بالوتر، وهو أطول أضلاع هذا المثلث.
*مثلث منفرج الزاوية: له زاوية قياسها أكبر من 90 درجة واصغر من 180 درجة(زاوية منفرجه)
*مثلث حاد الزوايا: كل زواياه قياسها أصغر من 90 درجة (زاوية حادة).

قائم منفرج حاد
*حقائق عن المثلثات:

مثلث مع رموز عناصره
-تشابه مثلثين:
يقال عن مثلثين انهما متشابهين اذا كانت الزوايا المتقابلة من كل منهما متساوية، اي عندما ينتج احدهما عن الاخر بتكبيره او تصغيره. ان اطوال اضلاع المثلثين المتشابهين متناسبة، اي انه اذا كان طول اقصر اضلاع المثلث الاول هو ضعفا طول اقصر اضلاع المثلث الثاني، فان طول كل من الضلعين الاطول و المتوسط من المثلث الاول هو ضعفا طولي لضلعين الاطول و المتوسط من المثلث الثاني ايضا، و بالتالي فان النسبة بين طولي الضلعين الاقصر و الاطول في المثلث الاول مساوية للنسبة بين طولي الضلعين الاقصر و الاطول في المثلث الثاني.وهناك عدة حالات للتشابه منها زاوتين ويرمز للتشابه بالرمز (~) يتشابه مثلثان اذا تطابقتزواياهما المتناظرة ___ اذا تطابقت زاويتان في مثلث مع زاويتان في مثلث اخر كان المثلثان متشابهين.
-نظرية فيثاغورث:
واحدة من النظريات الاساسية في المثلثات هي نظرية فيثاغورث و التي تنص على انه في المثلث القائم، مربع طول الوتر (ا َ) يساوي إلى مجموع مربعي طولي الضلعين القائمين (ب َ، ج َ)، اي:
د َ² = ب َ² + ج َ²
مما يعني ان معرفة طولي ضلعين من المثلث القائم، كاف لمعرفة طول الضلع الثالث:
من الممكن تعميم نظرية فيثاغورث لتشمل اي مثلث عبر قانون التجيب:
د َ² = ب َ² + ج َ² – 2 ب َ ج َ تجب د
و هو صحيح من اجل كل المثلثات حتى و لو لم تكن د قائمة.
سؤال:هل تبقى النظرية صحيحة في حالة ان تكون الاشكال المقامة مضلعات منتظمة اخرى مثل مضلع ثلاثي:أو خماسي أو سداسي،…الخ ماهو تعريف علم المثلثات
خطأ رياضيات (خطأ في الصيغة): أدخل الصيغة هنا ===مساحة المثلث===
تعطى مساحة المثلث بالقوتلةنتالتالابانون:
سط = ق × ع / 2
حيث ان ق هي طول احدى اضلاع المثلث (القاعدة)، و ع هو طول العمود النازل على هذا الضلع من الرأس المقابل له (الارتفاع).
من الممكن البرهان على ذلك من خلال الشكل التالي:

يحول المثلث اولا لمتوازي اضلاع
مساحته ضعف مساحة المثلث، ثم إلى مستطيل.
مثلث أحد الأشكالِ الأساسيةِ في هندسة: شكل ثنائي الأبعاد بثلاثة قِمَم وثلاثة جوانبِ بشكل خطوط مستقيمة . عرف المثلثات
*أنواع المثلثاتِ:
-المثلثات يُمْكِنُ أَنْ تُصنّفَ طبقاً للأطوالِ النسبيةِ مِنْ جوانبِها:
في مثلث متساوي الأضلاع كُلّ الجوانب ذات طولِ متساو. مثلث متساوي الأضلاع أيضاً متساوي الزوايا ، أي أن كل زاوية هي 60 درجة؛ * في مثلث متطابق الضلعين جانبان متساويان في الطول. مثلث متساوي الساقين لَهُ زاويتان داخليتانُ متساويتانُ أيضاً.
في مثلث مختلف الأضلاع كُلّ الجوانب لَها أطوالُ مختلفةُ. إنّ الزوايا الداخليةَ في مثلث مختلف الزوايا هي مختلفة أيضا.
المثلثات يُمْكِنُ أيضاً أَنْ تُصنّفَ طبقاً لحجمِ زاويتِهم الداخليةِ الأكبرِ، وَصفَ تحت استعمال درجة مِنْ القوسِ.
أي مثلث قائم (أَو مثلث قائم الزاوية ) عِنْدَهُ 90 واحد &deg؛ الزاوية الداخلية (a زاوية قائمة). الجانب قبالة الزاوية القائمة وتر زاوية قائمة ؛ هو الجانبُ الأطولُ في المثلث القائمِ. إنّ الجانبانَ الآخرَ سيقان المثلثِ.
مثلث منفرج عِنْدَهُ زاويةُ داخليةُ واحدة أكبرُ مِنْ 90 &deg؛ ( زاوية منفرجة).
مثلث حادّ عِنْدَهُ زوايا داخليةُ التي جميعاً أصغر مِنْ 90 &deg؛ (ثلاثة زاوية حادة ).
*نقاط و مستقيمات و دوائر متصلة بالمثلث:
-الموسط العمودي لمثلث هو مستقيم يمر من أحد اضلاع المثلث في منتصفه و يكون عموديّا عليه و تتلاقى الوسطات العمودية لمثلث في نقطة تسمى مركز الدائرة المحيطة بمثلث و يكون لهذه النقطة نفس البعد عن رؤوس المثلث الثلاث و يكون تقاطع موسطين عموديين فقط كافيا لمعرفة مركز هذه الدائرة.

الدائرة المحيطة بمثلث يمرّ من رؤوس المثلث الثلاث.

-تقول مبرهنة طالس انّه اذا مركز الدائرة المحيطة بالمثلث توجد على ضلع من أضلاع المثلث فانّ الزاوية المقابلة لهذا الضلع تكون قائمة.

نقطة تقاطع الارتفاعات في مثلث تسمى المركز القائم

-الارتفاع هو قطعة مستقيم تكون صادرة من راّس من رؤوس المثلث و تكون عمودية غلى الضلع المقابل و يمثل الارتفاع البعد بين الراس و الضلغ المقابل كما تتقاطع الارتفاعات في نقطة تسمى المركز القائم.

تقاطع منصفات الزوايا في مركز الدائرة المحيطة بالمثلث

منصف الزاوية هو مستقيم يمرّ من راس من رؤوس المثلث و يقسم الزاوية إلى نصفين و تتقاطع المنصفات الثلاثة في مركز الدائرة المحاطة بالمثلث وهي الدائرة التي تمسّ اضلاع المثلث الثلاث.
الموسّط هو قطعة مستقيم تنطلق من رأس من رؤوس المثلث و تمر من منتصف الضلع المقابل و تتقاطع الموسطات الثلاث في نقطة تسمى مركز ثقل المثلث و يكون تقاطع موسطين فقط كافيا لمعرفة مركز الثقل. كما يكون البعد بين راس المثلث و مركز الثقل مساويا ل 2/3 الموسط الصادر من ذلك الراس.

الوسطات و مركز الثقل.

منتصفات الاضلاع الثلاث و نقطة تقاطع الارتفاع و الضلع المقابل له موجودة كلها على نفس المثلث دائرة النقاط التسع للمثلث و النقاط الثلاثة المتبقية هي منتصف البعد بين راس المثلث والمركز القائم و شعاع دائرة النقاط التسع هي نصف شعاع الدائرة المحيطة بالمثلث .

تسع نقاط من هذه الدائرة موجودة على المثلث.

*حساب مساحة المثث:
أبسط طريقة لحسا مساحة المثلث و أكثرها شهرة هي

مشروع الوحدة : أهمية الدائرة في تصميم الزينة.

إأن شـإأْء الله يكـوون اهـوو المطلـووب ,,

ورقة عمل تقدير قياس ( الطول ـ السعة ـ الوزن ـ الكتلة ـ الحجم ) في النظام المتري !!

امتحانات + تدريبات + مذكرات + أوراق عمل – سادس – ف2