مقدمة
إن الرياضيات بفروعها المختلفة قد ساعدت الإنسان منذ القدم وحتى وقتنا الحاضرفي دراسة وتحليل العلاقات بين الظواهر الطبيعية المختلفة وبالتالي فالتعرف على بعض القوانين التي تحكم الكون المليء بالأسرار ولقد اخترت موضوع بحثي عن حساب المثلثات
فحساب المثلثات هو علم عربي إسلامي،و يعترف جميع علماء الرياضيات الأوربيين بأن المسلمين أسهموا الإسهام الأساسي في إنشاء علم المثلثات، وأن الفضل يرجع لهم في جعله علمًا منتظمًا ومستقلا عن علم الفلك،
تحدثنا بشكل موجز عن حساب المثلثات دعونا نتحدث بشيء من التفصيل
نبذة تاريخية
وفي القرن الثاني قبل الميلاد، وضع الفلكي هيباركوس جدول مثلثي لحل المثلثات، حيث بدأ بــ 7.5ْ حتى وصل إلى 180ْ بدرجات مقدارها 7.5ْ، وقد أعطى الجدول لكل زاوية طول الوتر المقابل لهذه الزاوية في دائرة ذات نصف قطر ثابت ر. ومثل هذا الجدول مكافئ لجدول الجيب ، ولم تكن القيمة التي استخدمها هيباركوس لنصف القطر (ر) محددة، ولكن بعد مضي 300 عام استخدم الفلكي بطليموس (ر)= 60 لأن اليونانيين قد أخذوا نظام الأرقام الستينية البابلي.
المثلث مكون من 6 عناصر 3 زوايا ، 3 أضلاع وأن إجراء العمليات على هذه العناصر الست قادنا للقول "علم حساب المثلثات" أو حساب المثلثات وكافة القوانين المذكورة هنا للمثلث الذي مجموع زواياه 180 درجة حيث يوجد مثلث كروي فيه مجموع الزوايا أكبر أو أقل من 180ه.
والمثلث المبين بالرسم أ ب حـ أضلاعه الثلاثة أ¯ ، ب¯ ، جـ¯ التي تقابل الزوايا أ ، ب ، جـ على الترتيب. والزاوية تقاس بالتقدير الستيني (الدرجات) والوارد من تقسيم الدرجة إلى 60 دقيقة (60َ ) والدقيقة 60 ثانية (60 ً ) على أساس الزاوية القائمة 90ه بتقسيمها لأقسام متساوية كل منها يسمى درجة ستينية (1ه) في حين التقدير الدائري للزاوية هو النسبة بين طول قوس دائري مركزه رأس الزاوية ومحصور بين ضلعيها وبين نصف القطر وعناصر الزاوية الأساسية ثلاثة هي وضعها الأصلي ووضعها النهائي واتجاه الحركة على أساس دوران مستقيم في مستو حول نقطة من نقاطه وسنتعامل مع الزاوية ذات القياس الرئيسي أي أقل من 360ه والتي تكبرها نطرح منها 360ه أو مضاعفاتها وحال الزاوية سالبة نضيف 360ه أو مضاعفاتها ويفضل إسناد الزوايا إلى 180ه عند حساب النسب المثلية لها مع مراعاة الإشارة والعلاقات والقوانين التالية صحيحة:
ظل الزاوية ب: ظاب = المقابل / المجاور
جيب الزاوية ب: جاب = المقابل / الوتر
جيب تمام الزاوية ب: جتاب= المجاور / الوتر
أ + ب + جـ = 5180
ظل تمام الزاوية ب: ظتاب = المجاور / المقابل
أ ، ب زاويتان متتامتان ↔ أ + ب = 590
قاطع تمام الزاوية ب: قتاب = الوتر / المقابل
إذا كان: أ + ب = 590
فــــــإن: جاأ = حتاب ، ظاأ= ظتاب ، قاأ = قتاب
قاطع الزاوية ب: قاب = الوتر / المجاور
للتحويل من التقدير الدائري للستيني والعكس نستخدم
النسبة × مقلوبها = 1 أي:
ظاب × ظتاب =1، جاب× قتاب = 1، جتاب× قاب =1
قيم النسب الستة موجبة في الربع الأول لأي زاوية هـ
جاهـ ، مقلوبها موجبة في الربع الثاني والباقية سالبة
ظاهـ ، مقلوبها موجبة في الربع الثالث والباقية سالبة
جتاهـ ، مقلوبها موجبة في الربع الرابع والباقية سالبة
جا – هـ = – جاهـ ، جتا – هـ = جتاهـ ، ظا – هـ = – ظاهـ
قتا – هـ = – قتاهـ ، قا– هـ = قاهـ ، ظتا – هـ = – ظتاهـ
جا(590 – هـ) = جتاهـ ، جتا(590 – هـ) = جاهـ ظا(590 – هـ) = ظتاهـ ، ظتا(590 – هـ) = ظاهـ
قا(590 – هـ) = قتاهـ ، قتا(590 – هـ) = قاهـ حا(590 + هـ) = جتاهـ ، جتا(590 + هـ) = – جاهـ
ظا(590 + هـ) = – ظتاهـ ، ظتا(590+ هـ) = – ظاهـ قا(590 + هـ) = – قتاهـ ، قتا(590+ هـ) = قاهـ
جا(5180 – هـ) = جاهـ ، جتا(5180 – هـ) = – جتاهـ ظا(5180 – هـ)= – ظاهـ ، ظتا(5180– هـ)= – ظتاهـ
قا(5180 – هـ) = – قاهـ ، قتا(5180 – هـ) = قتاهـ جا(5180+ هـ)= – جاهـ ، جتا(5180+ هـ)= – جتاهـ
ظا(5180+ هـ) = ظاهـ ، ظتا(5180 + هـ) = ظتاهـ قا(5180 + هـ) = – قاهـ ، قتا(5180 + هـ) = – قتاهـ
بنفس الطريقة للزاويتين (5270 ± هـ) وأن قيم نسب 5360 هي نفس قيم نسب 0ه ومن حيث في أي مثلث:
أ + ب + جـ = 5180 أي أ + ب = 5180 – جـ فإن جتا(أ+ب)= جتا(5180– جـ)= – جتاجـ ويمكن استنتاج الباقي
وعلى العموم تكتب إشارة النسبة حسب الربع الواقعة فيه الزاوية بعد وضعها على الصورة (م×90± هـ)، م موجبة، هـ حادة ونكتب نفس النسبة (جا) إذا كانت م عدداً زوجياً والنسبة المتممة إذا كانت م عدداً فردياً (جتا)
جا^2 هـ + جتا^2هـ = 1
جا(أ ± ب) = جاأ جتاب ± جتاأ حاب
جتا(أ + ب) = جتاأ جتاب – جاأ حاب
جتا(أ – ب) = جتاأ جتاب + جاأ حاب
ظا( أ + ب) = ( ظاأ + طاب) / ( 1 – ظاأ طاب)
ظا( أ – ب) = ( ظاأ – طاب) / ( 1 + ظاأ طاب )
جتا(ب – جـ) × جتا(ب + جـ) = جتا^2 ب + جتا^2 جـ – 1
جا(ب + جـ) × جا(ب – جـ) = جا^2ب – جا^2حـ
جا2جـ = 2جاجـ جتاجـ
جتا2جـ= جتا^2 جـ – جا^2 جـ= 2جتا^2 جـ – 1=1–2جا^2 جـ
ظا2حـ = ( 2ظاحـ ) / ( 1 – ظا^2 جـ )
ظا3جـ =( ظاجـ – ظا^3 جـ ) / ( 1 –3ظا^2 جـ )
جتا3جـ = 4جتا^3 جـ – 3جتاجـ
جا3جـ = 3جاجـ – 4جا^3 جـ
2جا^2 جـ = 1 – جتا2جـ (هامة للتكامل)
2جتا^2 جـ = 1 + جتا2جـ (هامة للتكامل)جاب + جا د = 2جا ( ب + د ) / 2 جتا ( ب – د ) / 2
جاب – جا د = 2جتا ( ب + د ) / 2 جا ( ب – د ) / 2
جتاب + جتا د = 2جتا ( ب + د ) / 2 جتا ( ب – د ) / 2
جتاب – جتا د = –2جا( ب + د ) / 2 جا( ب – د ) / 2
2جتاب جا د = جا( ب + د) – جا( ب – د(
2جاب جتا د = جا( ب + د) + جا( ب – د( 2جتاب جتا د = جتا( ب + د) + جتا( ب – د) 2جاب جا د = جتا( ب – د) – جتا( ب + د)في ∆ أ ب جـ ( أ¯ / جا أ ) = ( ب¯ /جاب ) =( جـ¯ / جا جـ ) = 2 نق
نق نصف قطر الدائرة الخارجة للمثلث (المارة برؤوسه)
أ¯ = ب¯جتاجـ + جـ¯جتاب
ب¯ = جـ¯جتاأ + أ¯جتاجـ
جـ¯ = أ¯جتاب + ب¯جتاأ
( أ¯ )^2= ( ب¯ )^2 + ( جـ¯ )^2 – 2 ب¯جـ¯ جتاأ
جتاأ = [ ( ب¯ )2+ (جـ¯ )2– ( أ¯ )2 ] / 2 ب¯جـ¯
( ب¯ )2= ( جـ¯ )2 + ( أ¯ )2 – 2 جـ¯ أ¯ جتاب
جتاب= [ (جـ¯ )2+ ( أ¯ )2– ( ب¯ )2 ] / 2 جـ¯ أ¯
( جـ¯ )2= ( أ¯ )2 + ( ب¯ )2 – 2 أ¯ ب¯ جتاجـ
جتاجـ= [ ( أ¯ )2+ (ب¯ )2– ( جـ¯ )2 / 2 أ¯ ب¯ ]
المثلث أ ب جـ ، بوضع أ¯ + ب¯ + جـ¯ = 2ج، نق نصف قطر الدائرة الداخلة، ∆ رمز لمساحة المثلث أ ب جـ
∆ = جذر [ ج( ج – أ¯ )(ج – ب¯ )([ – جـ ¯ )]
حل المثلث في حالاته
الحالة الأولى: إذا علمت أضلاع المثلث الثلاث
نستخدم قانون ظل نصف الزاوية كأفضل القوانين وأدقها ويفضل التقريب لنصف دقيقة وفي حالة استخدام قانون جيب التمام للأعداد البسيطة تحدد الإشارة في الناتج كون الزاوية حادة(+) أو منفرجة(–) ومع كون الضلع الأكبر يقابل الزاوية الكبرى والضلع الأصغر يقابل الزاوية الصغرى.
الحالة الثانية: إذا علم من المثلث زاويتان وضلع
نوجد الزاوية الثالثة من أ + ب + جـ = 180ه ونوجد الضلعين الآخرين من قانون الجيب
( أ¯ / جا أ ) = ( ب¯ /جاب ) =( جـ¯ / جا جـ )
الحالة الثالثة: إذا علم من المثلث ضلعان والزاوية المحصورة بينهما
ليكن الضلعان المعلومان هما ب¯ ، جـ¯ ، ب¯> جـ¯ ونوجد ( ب – جـ / 2 ) من القانون
ظا ) ب – جـ / 2 ) =( ب¯ – جـ¯ / ب¯ + جـ¯ ) ظتا ( أ / 2 (
